Фамилия Заваюлев — редкая, и её разбор требует внимания к деталям, а не к шаблонным схемам. Первое, что бросается в глаза, — нестандартный суффикс. Если бы фамилия была образована от прозвища Заваюла, мы бы ожидали форму Заваюлин (по модели «отец — сын»). Суффикс -ев указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или й. В данном случае основа — Заваюл-, и фамилия буквально значит «сын Заваюла». Но что такое «Заваюл»?

Самая вероятная версия — прозвище Заваюл, связанное с процессом валяния шерсти или войлока. В русских говорах «ваюлить» означало «валять, мять, сбивать в ком». Человек, который занимался этим делом, мог получить имя-прозвище Заваюл — «тот, кто заваливает, сбивает войлок». Это ремесленная фамилия, указывающая на занятие предка. Суффикс -юл- здесь редок: он мог возникнуть как диалектный вариант или результат переосмысления более распространённого -ул- (ср. Заварулин от «заваруха»). В пользу этой версии говорит и то, что фамилия почти не встречается в центральных областях, а её ареал, судя по редким записям, тяготеет к северным и уральским регионам, где валяльное дело было развито.

Менее вероятная, но допустимая гипотеза — связь с глаголом «заваять» (создать, вылепить). Тогда Заваюл — это человек, который «заваял» что-то, то есть мастер. Однако форма «Заваюл» для такого корня нехарактерна: от «заваять» скорее образовали бы Заваев или Завайцев. Поэтому версия с валянием убедительнее.

В написании фамилии возможна вариативность: в дореволюционных документах могли писать Заваюлевъ или даже Заваюлев, с одним л, так как двойные согласные в фамилиях часто упрощались. Сравните с однокоренными фамилиями: Завалов (от «завал» — затор, препятствие) или Завалишин (от «завалиться» — спрятаться). Заваюлев стоит особняком из-за суффикса и узкой ремесленной привязки.

Итог: носитель фамилии Заваюлев с высокой долей вероятности происходит от предка-ремесленника, который занимался валянием шерсти или войлока. Фамилия редкая, северного или уральского происхождения, и её форма сохранила диалектную особенность словообразования.