Фамилия Заваев — редкий пример, где основа, скорее всего, не имя, не профессия, а географическая привязка или прозвище по месту жительства. В русской модели фамилий на -ев суффикс указывает на патроним («чей сын»), но корень «завай» в таком виде в древнерусских именах не встречается. Всё упирается в диалектное слово «завай» — так в некоторых северных и сибирских говорах называли глухой залив, заводь, тупиковый рукав реки. Человек, живший у такого места, получал прозвище Завай, а его дети становились Заваевыми.

Есть и вторая, менее вероятная версия — от глагола «заваять» (создать, изваять). В этом случае фамилия могла достаться потомкам ремесленника-ваятеля, но слово редкое, а суффикс -ев при таком корне выглядит искусственно: скорее ждали бы Заваяев или Завайцев. Поэтому версия с «заводью» убедительнее.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку европейской России: единичные записи встречаются в старых переписях Вологодской и Архангельской губерний. Там же, кстати, бытовала фамилия Заваевский — от того же корня, но с польско-шляхетским суффиксом, что может указывать на позднее переселение или канцелярскую переделку.

В словарях Б. Унбегауна и В. Никонова фамилия не приводится как типовая — она осталась на периферии ономастики. Это значит, что Заваевы не были массовым крестьянским или дворянским родом, а скорее локальной семейной группой, закрепившей прозвище за собой. Если ваши предки — Заваевы, стоит искать их именно в северных погостах, где рельеф и гидронимы давали такие прозвища.