Фамилия Завацких — одна из тех, что сразу выдают своё происхождение через суффикс. Окончание -их/-ых указывает на северную или сибирскую модель образования: так закрепляли принадлежность к роду в родительном падеже множественного числа. «Завацких» значит «из семьи Завацкого» или «дети Завацкого». В центральной России такие фамилии редки, а вот на Русском Севере, в Вятке и за Уралом — обычное дело.

Основа фамилии — прозвище или фамилия Завацкий, которая восходит к географическому названию. Чаще всего «завацкий» — это человек, живший за валом, за земляной насыпью (от слова «вал»). В говорах «валом» называли не только оборонительное укрепление, но и высокий берег реки, гребень оврага. Соответственно, Завацкий — тот, кто поселился за такой границей, на отшибе. Менее вероятная, но возможная версия — связь с рекой Вац (польское или западнорусское влияние), но для исконно русских фамилий типичнее первое значение.

С географией фамилии всё прозрачно. В дореволюционных переписях и метрических книгах Завацких чаще всего фиксируют в Вятской губернии и в Сибири — в Томской, Енисейской губерниях. Это не случайно: на Вятке суффикс -их был особенно продуктивен, а в Сибирь фамилию принесли переселенцы. Если ваши предки — Завацкие, с высокой вероятностью они были государственными крестьянами или казаками, жившими в глухих деревнях за земляными валами, которые защищали от набегов или разлива рек.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ов/-ев, которые могли давать по отцу, Завацких — это фамилия-«родня». Она закреплялась за целым семейством и не менялась при смене поколений. В документах её часто писали слитно, с окончанием -их, что делало фамилию неизменяемой: «Иван Завацких» и «Пётр Завацких» — один род. Если встретите вариант «Завацкой» или «Завацкий» — это, скорее всего, более поздняя описка или адаптация под литературную норму, но исходная форма — именно Завацких.