Фамилия Завёрткины образована от прозвища Завёртка. В основе лежит слово «завёртка» — так в старину называли замочно-скобяное изделие для запирания дверей и окон: металлическая накладка с поворотной ручкой. Прозвище, скорее всего, получил мастер, который такие завёртки делал или устанавливал. Профессиональные именования по ремеслу — один из самых распространённых источников русских фамилий, и Завёрткин здесь встаёт в один ряд с Ковалёвыми, Кузнецовыми или Скорняковыми.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Завёрткин — «сын Завёртки». Форма множественного числа Завёрткины типична для фамилий, которые закрепились за целым родом или семьёй в документах — чаще всего в списках крестьян или мещан. Такая модель характерна для северных и центральных губерний России.

Интересно, что слово «завёртка» имело и другие значения — так называли и закрутку для верёвок, и простой запор в виде палки или засова. Если прозвище возникло в крестьянской среде, оно могло относиться не к слесарю, а к человеку, который что-то «заворачивал» — например, упаковывал товар или закручивал упряжь. Но основная и самая конкретная версия — ремесленная, связанная с производством дверных запоров.

Фамилия редкая, в современных справочниках массово не встречается. Это значит, что род мог быть немногочисленным или локально привязанным к одному селу или уезду. Точное место и время возникновения фамилии Завёрткины без архивных изысканий не установить, но её прозрачная основа и профессиональный корень дают ясное представление о том, кем мог быть первый носитель этого прозвища.