Фамилия Заверткина — женская форма от Заверткин, а её основа — прозвище Завертка. В русских говорах у этого слова несколько значений, и какое из них легло в основу фамилии — вопрос, который решается через контекст места и рода занятий предка.

Самое вероятное объяснение — прозвище по действию. «Завертка» — это и закрутка, и приспособление для закручивания (например, у сохи или в телеге), и человек, который что-то завертывает. В северных и сибирских говорах «заверткой» называли поворот, излучину реки, а в переносном смысле — уклончивого, хитрого человека, который «вывернется» из любой ситуации. Прозвище могли дать либо ремесленнику, изготавливающему завертки (скажем, бондарю или кузнецу), либо человеку с непростым характером.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Заверткин — сын или потомок Завертки. В XVI–XVII веках такие фамилии были типичны для крестьянского и посадского населения центральной России и Русского Севера. Если предок жил в районе Вятки или Перми, где слово «завертка» бытовало особенно активно, это дополнительный аргумент в пользу ремесленной версии.

Менее распространённая гипотеза — связь с глаголом «завертеть» в значении «закружить, замучить». Но в этом случае прозвище звучало бы как Завертяй или Завертихин. Так что Завертка — скорее предметное или качественное прозвище, а не глагольное.

Фамилия недворянская и нечастотная. Встречается в основном в Поволжье и на Урале, что подтверждает её народное, не книжное происхождение. В дореволюционных переписях носители Заверткины записаны как государственные крестьяне и мещане.