Фамилия Заветный — редкий случай, когда прозвище или мирское имя превратилось в фамилию почти без изменений, не обрастая типичными фамильными суффиксами. В русской модели фамилий на -ый/-ой обычно скрываются прилагательные, которые когда-то закрепились за человеком как характеристика. Вопрос в том, что именно означало это прилагательное в народной речи.

Самая прямая версия — прозвище Заветный давали человеку, который хранил какую-то тайну, был скрытным или имел доступ к чему-то сокровенному. В крестьянской среде «заветным» называли обет, данный Богу, или вещь, спрятанную от чужих глаз. Однако есть и другой, менее очевидный смысл. В некоторых говорах «заветный» означало «дорогой, желанный, долгожданный». Такое прозвище могли дать позднему или единственному ребенку («заветное дитя») или человеку, которого долго ждали из долгой отлучки.

Словообразовательная модель здесь простая: основа «завет-» плюс окончание -ый. Фамилия не тюркская и не заимствованная, а исконно славянская, но с очень узкой географией. Встречается она преимущественно в южнорусских областях и на Украине, где фамилии на -ый вообще более характерны, чем в северной России. В отличие от массовых фамилий вроде Иванов или Смирнов, Заветный — штучный товар. По переписям XIX века носители этой фамилии чаще всего были государственными крестьянами, а не дворянами или купцами.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) фамилия Заветный не упоминается в основных перечнях, что подтверждает её редкость. Это не фамилия духовенства (семинарские фамилии часто образовывали от значимых слов, но Заветный в этом ряду не встречается). Скорее всего, она возникла в среде однодворцев или казачества, где прозвища были особенно меткими и устойчивыми.

Таким образом, если ваша фамилия Заветный, ваши предки с большой вероятностью были крестьянами или казаками юга России, а само прозвище могло означать либо «скрытный, хранящий тайну», либо «долгожданный, любимый». Второе значение кажется более вероятным для прозвища, которое закрепилось за родом.