Фамилия Завиохина — редкий случай, когда написание вводит в заблуждение. На слух она звучит как Завиохина, но её основа — не «завиох», а «завих». Это женская форма фамилии Завиохин, которая, в свою очередь, образована от прозвища Завиоха. В русских говорах слово «завиоха» (или «завиха») означало метель, вьюгу, пургу. Так могли прозвать человека по характеру: беспокойного, порывистого, непредсказуемого, как зимняя буря. Либо, что встречается реже, по внешности — растрёпанного, с нечёсаными волосами, которые напоминают крутящийся снег.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность «чей?» — сын или потомок Завиохи. Ударение, судя по произношению, падает на второй слог: Завио́хин. В письменных источниках фамилия могла фиксироваться по-разному: из-за диалектного аканья (произношения «а» вместо «о» в безударной позиции) встречается вариант Завиахин, но это одна и та же фамилия.

Фамилия географически привязана к северным и центральным областям России, где слово «завиха» было в ходу. В словаре В. И. Даля «завиха» зафиксирована как псковское и тверское слово. Соответственно, корни рода Завиохиных стоит искать в Псковской, Тверской, Новгородской губерниях. Сословного барьера прозвище не имело: Завиохой могли назвать и крестьянина, и посадского человека, и даже дворового.

Единственная альтернативная версия — связь с глаголом «завивать» (например, завивать волосы). Но она слабая: от «завивать» образовались бы фамилии Завивалов, Завивалкин, а форма Завиоха напрямую выводится из метеорологического термина. Так что версия с метелью — основная и самая правдоподобная.