Фамилия Заврашвили — характерный пример грузинской фамилии, и её происхождение напрямую связано с грузинским языком и традицией образования фамилий. В первую очередь бросается в глаза грузинский суффикс -швили, который в переводе означает «дитя» или «сын». Этот формант — один из самых распространённых в восточной Грузии (особенно в Кахетии и Картли). Он указывает на то, что предок носителя фамилии был сыном человека, носившего имя или прозвище Завра.

Основа «Завра» — это, скорее всего, грузинская форма от арабского имени Заур (или Заури). В арабском языке имя Заур означает «сильный», «мощный», «богатый». В грузинскую культуру это имя проникло вместе с исламским влиянием, но прижилось и у христианского населения, особенно в регионах, граничивших с мусульманскими государствами. Таким образом, Заврашвили буквально означает «сын Заура» или «потомок сильного человека».

Есть и вторая, менее вероятная версия. Некоторые исследователи связывают основу «Завра» с грузинским словом «заври» (заври) — «колдун», «чародей». Если это так, то фамилия могла произойти от прозвища, данного человеку, который занимался знахарством или ворожбой. Однако эта гипотеза уступает первой по распространённости: имя Заур в Грузии встречается значительно чаще, чем прозвище «Колдун», и даёт более естественное объяснение для массового образования фамилий.

Географически фамилия Заврашвили наиболее типична для восточных регионов Грузии. Встречается она и в других частях страны, но с меньшей частотой. В России и странах бывшего СССР эта фамилия нередка среди потомков грузинских эмигрантов, переселившихся в XIX–XX веках.

Социальный состав носителей фамилии был разнородным. Среди Заврашвили встречались и крестьяне, и ремесленники, и представители духовенства. Фамилия не указывает на княжеское или дворянское происхождение — она принадлежит к числу «простых» патронимических фамилий, которые носили основная масса грузинского населения.