Фамилия Завсеголов — редкий случай, когда прозвище практически не зашифровано: оно буквально говорит само за себя. В основе лежит устойчивое выражение «завсегда голый» или, что ещё вероятнее, «завсегда голова». Сращение предлога «за» с наречием «всегда» (в старых говорах — «завсегда», «завсегды») и прилагательным «голый» дало ёмкую характеристику человеку, который постоянно ходил бедно, без верхней одежды, или, в переносном смысле, был беден. Менее распространённая, но тоже возможная версия — прозвище «Завсеголов» могли дать человеку с необычно большой или, наоборот, маленькой головой, которую замечали всякий раз («завсегда» + «голова»).

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: прозвище Завсеголов перешло в фамилию без изменений, с нулевым окончанием. Это так называемая «семейная» форма, характерная для украинской, белорусской и южнорусской традиции, где фамилии часто совпадали с прозвищем (сравните: Непийвода, Безбородько, Кривошея). В северных и центральных областях России такое прозвище скорее оформили бы суффиксом -ов: Завсеголовов, но фиксация формы без суффикса указывает на южное или западнорусское происхождение.

Фамилия чрезвычайно редкая. В исторических источниках она не встречается среди дворянских родов или купечества — это однозначно крестьянская или казачья фамилия. Прозвище давали не в насмешку, а как бытовую примету: «Завсеголов» — это человек, которого в селе знали по постоянной внешней черте, будь то бедность или физическая особенность. В переписях XIX века такие фамилии нередко оказывались «уличными», то есть неофициальными, и могли не попасть в ревизские сказки, что объясняет их редкость.

Однокоренные фамилии — Завсегдашний, Завсегдаев, Головин, Голый — но Завсеголов стоит особняком, поскольку сохранил исходную глагольную конструкцию. Если ваш предок носил эту фамилию, он с большой вероятностью происходил из южнорусских или украинских губерний, возможно, из казачьей среды, где подобные прозвища были особенно распространены.