Фамилия Завьязун — редкая и нестандартная. Её основа не лежит на поверхности, и сразу бросается в глаза необычный суффикс -ун. В русском языке этот суффикс почти всегда указывает на деятеля: бегун, говорун, хвастун. Значит, и Завьязун — это прозвище человека, склонного к какому-то занятию или действию, обозначенному корнем.

Корень здесь — завяз-. В древнерусском языке «завязать» означало не только затянуть узел, но и «затеять ссору», «завязать драку». Сравните с диалектным словом «завязка» — зачин, начало чего-либо. Скорее всего, Завьязун — это задира, зачинщик ссор, человек, который «завязывает» конфликты. Вторая, менее вероятная версия — от глагола «завязать» в прямом смысле: прозвище могли дать мастеру по плетению, вязанию сетей или верёвок, но суффикс -ун в этом контексте встречается реже (обычно говорят «вязальщик»).

По модели образования фамилия относится к типу безсуффиксальных прозвищных фамилий, которые просто закрепили за человеком его уличное имя. Встречаются такие фамилии в основном в северных и центральных областях России, где была сильна традиция прозвищ, не оформленных патронимическими суффиксами -ов/-ев или -ин. Сравните с однокоренными, но более распространёнными фамилиями: Завязкин (от «завязка»), Завялов (от «завялый» — вялый, медлительный). Завьязун стоит особняком — он активный, резкий, «завязывающий» действие.

Сословная принадлежность первых носителей, скорее всего, крестьянская или посадская. Фамилия не дворянская — в родословных книгах она не зафиксирована. Встречаемость крайне низкая, единичные носители есть в Вологодской и Кировской областях, что косвенно подтверждает северное происхождение. Если вы носите эту фамилию, ваш предок был не ремесленником-молчуном, а человеком с характером — возможно, тем, кто не давал скучать односельчанам.