Фамилия Завьяов — редкий и, скорее всего, искажённый вариант написания. В привычном, нормативном виде она выглядит как Завьялов, и именно её стоит разбирать. Ошибка «Завьяов» вместо «Завьялов» могла возникнуть при записи в документах (например, из-за неразборчивого почерка или диалектного произношения, когда звук «л» редуцировался). Поэтому, если вы носитель фамилии Завьяов, ваши предки, по всей вероятности, были Завьяловыми.

Основа фамилии — неканоническое имя или прозвище Завьял. Ономасты (в частности, Б. Унбегаун) связывают его с глаголом «завять» — то есть завянуть, утратить свежесть. В старину так могли назвать ребёнка, родившегося слабым или болезненным, либо взрослого, который выглядел хилым и бледным. В народной традиции такие имена давали не в обиду, а как оберег: считалось, что «плохое» имя отпугнёт злых духов и ребёнок, наоборот, вырастет крепким.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Завьялов буквально значит «сын Завьяла». Фамилия входит в обширный ряд «растительных» прозвищ, где корень описывает не род занятий, а внешность или состояние человека (ср. Вялов, Сухоруков, Бледнов).

Географически Завьяловы распространены по всей России, но заметный след оставили на Русском Севере и в Поволжье. Встречается и топонимическая параллель: село Завьялово в Удмуртии и Новосибирской области, однако фамилия, скорее всего, старше этих названий и произошла именно от личного прозвища.

В написании Завьяов — редкий орфографический курьёз. Если вы встретили такой вариант, это не самостоятельная фамильная форма, а описка, закрепившаяся в одной ветви рода.