Фамилия Завьялков — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив живой глагольный корень. В её основе лежит слово «завьялый» — так в северных и центральных русских говорах называли вялого, медлительного, апатичного человека. Сравните с однокоренными «завянуть», «вялый»: прозвище давали тому, кто «завял» — потерял живость, бодрость, словно увядший цветок. Суффикс -к- в исходном прилагательном «завьялый» — уменьшительно-пренебрежительный, поэтому Завьялко — это не просто вялый, а «такой себе вяленький», с оттенком снисходительной или шутливой оценки.

Фамилия образована по самой распространённой русской модели: от прозвища Завьялко (или Завьялый) через притяжательный суффикс -ов. В результате Завьялков буквально означает «сын Завьялка» или «потомок Завьялого». Интересно, что в документах XVII–XVIII веков встречаются оба варианта: и Завьялов (от «завьялый»), и Завьялков (с сохранением суффикса -к-). Первый вариант стал массовым, второй — остался локальным, что делает Завьялковых более редкими носителями, чем Завьяловых.

Географически фамилия тяготеет к Вятке, Пермскому краю и Поволжью — именно там фиксируются ранние упоминания Завьялковых в писцовых книгах и ревизских сказках. Например, в переписи населения Казанской губернии середины XVIII века среди государственных крестьян числились Завьялковы, что указывает на их непривилегированное происхождение. В отличие от дворянских фамилий, эта не получила распространения в высших сословиях, а осталась крестьянской или мещанской.

Спорных версий происхождения почти нет: корень прозрачен, и альтернативные гипотезы (например, от тюркского слова или от названия местности) не выдерживают критики — ни в одном диалектном словаре нет созвучного топонима или заимствования с таким значением. Поэтому можно уверенно сказать: предки носителя фамилии Завьялков — это человек, получивший прозвище за свой медлительный или флегматичный нрав, живший скорее всего в северной или средней полосе России и принадлежавший к крестьянскому сословию.