Фамилия Завялкин образована по классической русской модели с суффиксом -ин, который указывает на принадлежность. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Завялка. В отличие от более распространённых фамилий на -ов, модель на -ин чаще встречается в северных и центральных регионах России, а также в Сибири, куда переселенцы принесли свои прозвища.

Корень «завял» напрямую связан с глаголом «завянуть» — утратить свежесть, засохнуть. Прозвище Завялка могли дать человеку с вялым, медлительным характером или болезненным видом. Однако здесь есть важный нюанс: в русских говорах слово «завялый» могло означать не только физическое состояние, но и унылого, безынициативного человека. В ономастике такие прозвища по внешним или поведенческим признакам — обычное дело, они не несли оскорбительного оттенка, а фиксировали заметную черту.

Менее вероятна, но возможна версия, связывающая фамилию с ремеслом. В диалектах «завялить» — значит подвялить на солнце рыбу или мясо. Тогда Завялка — это прозвище рыбака или мясника, занимавшегося вялением. Но эта гипотеза слабее, так как глагол «завялить» имеет более узкое территориальное распространение, чем прилагательное «завялый».

Сравнение с однокоренными фамилиями (Завялов, Завьялов) показывает, что форма Завялкин встречается реже. Фамилии Завьялов и Завялов гораздо массовее, они восходят к тому же корню, но с другим суффиксом. Завялкин — более редкий вариант, что может указывать на локальное происхождение в конкретной деревне или семье, где прозвище закрепилось именно в такой уменьшительной форме. В переписных книгах XVI–XVII веков подобные прозвища встречаются среди крестьян и посадских людей, но найти конкретного Завялку можно только в архивных документах по конкретному уезду.

Таким образом, фамилия Завялкин — это типично русское прозвищное именование, скорее всего, характеризующее внешность или характер предка. Её редкость делает её ценной для генеалогического поиска: она почти наверняка привязана к небольшой территории, и следы носителей можно проследить по писцовым книгам и ревизским сказкам.