Фамилия Завялова — женская форма от Завялов, и её происхождение напрямую связано с глаголом «завялить» или существительным «завял». В отличие от большинства русских фамилий на -ов, которые образованы от полных крестильных имён (Иван — Иванов), здесь в основе лежит прозвище. Завялом в старину могли назвать человека медлительного, вялого, апатичного — того, кто «завял» душой или телом. В говорах слово «завялый» означало «болезненный», «хилый», так что прозвище давали не в обиду, а по внешнему признаку или характеру.

Есть и вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование: связь с ремеслом. В некоторых диалектах «завяливать» значило «сушить, вялить рыбу или мясо». Тогда Завял — это прозвище рыбака или мясника, занимавшегося заготовкой впрок. Однако эта гипотеза слабее: фамилии от названий ремёсел обычно образуются через суффикс -ник (Рыбник, Мясник) или напрямую от названия профессии, а не от отглагольной формы. Поэтому основное и наиболее правдоподобное объяснение — характеристика человека.

Фамилия Завялов (и Завялова) бытует в основном в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской, Костромской и Архангельской губерниях. Там слово «завялый» в значении «вялый, слабый» фиксируется в диалектных словарях. Суффикс -ов указывает на принадлежность: «чей?» — Завялов, то есть сын или потомок Завяла. Это типичная модель для русских фамилий, сложившихся в XVI–XVII веках.

Стоит обратить внимание на написание: в дореволюционных документах фамилию могли записывать через «ять» или с двойным «л» (Завяллов), но современный вариант закрепился с одной «л» и буквой «я» в корне. Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то Завялов стоит в одном ряду с Вялов, Вялкин, Завялкин — все они образованы от прозвищ, связанных с состоянием или действием. Но Завялова уникальна приставкой «за-», которая в русских фамилиях встречается редко (сравните: Забродин, Загребин) и придаёт оттенок завершённости: «тот, кто уже завял», а не просто «вялый».