Фамилия Завялиц — редкая и по звучанию необычная. Её основа не связана с распространёнными славянскими корнями, что сразу заставляет искать иные пути происхождения. Скорее всего, перед нами фамилия польского или белорусского происхождения, образованная по модели, характерной для этих языков.

Ключ к разгадке — суффикс -иц (в русской передаче -иц). В польском и западнорусском ономастиконе этот суффикс часто указывал на принадлежность к месту или роду, а также служил для образования фамилий от прозвищ и названий профессий. Сравните: польские фамилии на -иц (Ковалиц, Гловацкий в старой форме) или белорусские (Кузьмиц, Махнач). Таким образом, Завялиц могло означать «сын Завяла» или «человек из местности, связанной с Завялом».

Сама основа Завял — это, вероятнее всего, прозвище. В белорусском и польском языках «завялы» означает «увядший», «засохший». Прозвище могли дать человеку с болезненным, бледным видом, либо тому, кто был медлительным, вялым. Впрочем, в переносном смысле слово могло относиться и к человеку, пережившему трудные времена, «увядшему» душой. Менее вероятная, но допустимая версия — связь с глаголом «завялить» (то есть засушить мясо или рыбу). В таком случае прозвище мог получить мясник или торговец вяленым товаром.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Речи Посполитой. Встречается она в основном в Беларуси и среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. В России фамилия крайне редка, что подтверждает её локальный характер. Фамилия не относится к дворянским — это, скорее всего, крестьянское или мещанское прозвание, зафиксированное в метрических книгах XIX века.

В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые в русском языке стали массовыми, Завялиц осталась в своей первоначальной краткой форме, без наращения патронимического суффикса. Это лишний раз указывает на её западнославянские корни. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, вероятно, были выходцами из белорусских или польских земель, а прозвище могло отражать либо внешность, либо род занятий.