Фамилия Завялик — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет привычного суффикса -ов, -ев или -ин, поэтому сразу понятно: перед нами не «сын Завяла», а скорее прозвище, застывшее в форме существительного с суффиксом -ик.

Основа фамилии — глагол «завялить» (вялить мясо или рыбу). В говорах завяликом могли называть человека, который занимался вялением, торговал вяленым продуктом, или же того, кто сам был худым, «высушенным» — то есть долговязым и тощим. Вторая, менее очевидная версия: прозвище могли дать по характеру — медлительному, вялому человеку, которого в насмешку «завялили» словом.

Суффикс -ик в русских фамилиях встречается реже, чем -ов, и часто указывает на прозвищное происхождение (сравните: Скоробогатик, Шустрик). Такие фамилии нередко закреплялись в среде крестьянства или посадских людей, где человека называли не по отцу, а по его собственной примете или занятию.

Ударение в фамилии, скорее всего, падает на последний слог — Завяли́к, хотя в диалектах возможен и вариант на первый. Географически фамилия тяготеет к западным и южным областям России, где вяление было распространённым способом заготовки рыбы и мяса.

Однокоренных фамилий немного: Завялов, Завялкин. Завялик стоит особняком — как раз благодаря своей прозвищной форме и редкому суффиксу. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в местности с развитым рыбным промыслом или получили прозвище за внешность.