Фамилия Завялец — редкая и неочевидная с первого взгляда. Её основа не лежит на поверхности, и это как раз тот случай, когда разбор суффикса даёт больше, чем попытка угадать корень.

Суффикс -ец в русских фамилиях чаще всего указывает на принадлежность к местности или на характерный признак человека. Однако в фамилии Завялец этот суффикс прикреплён к корню, который не является топонимом. Скорее всего, перед нами прозвищная фамилия, образованная от глагольной основы.

Самая вероятная версия: Завялец — это человек, который «завял», то есть стал вялым, медлительным, апатичным. В диалектах слово «завялый» означало не только увядшее растение, но и человека без энергии, болезненного или ленивого. Суффикс -ец здесь работает как типичный прозвищный: Завялый → Завялец, как, например, «глупец» от «глупый». Прозвище могли дать за характер: нерасторопный, сонный, вялый работник.

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование: связь с глаголом «завязать» (завязывать). В таком случае Завялец — тот, кто завязывает, возможно, мастер по изготовлению верёвок, тесёмок или мешков. Однако эта гипотеза слабее: суффикс -ец редко образует названия ремесленников от глаголов (обычно это суффикс -ник). К тому же фонетически «завязец» было бы логичнее, чем «завялец». Поэтому версия с «вялым» характером выглядит убедительнее.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и белорусским землям, где суффикс -ец в прозвищах встречается чаще, чем в центральной России. Встречается вариант написания через «и» — Завилец, но основная форма именно с «я». Сословного барьера у фамилии не было: прозвище могли дать и крестьянину, и мещанину.

С точки зрения словообразования, Завялец — типичная «прозвищная» фамилия, где суффикс -ец превращает прилагательное в имя, а затем в наследственную фамилию. Она не имеет отношения к дворянским родам или географическим названиям — это бытовое, живое прозвище, закрепившееся за родом.