Фамилия Завьялкова — женская форма фамилии Завьялков, а та, в свою очередь, произошла от прозвища Завьялка. Чтобы понять корень, нужно разобраться с глаголом «завязать» в его старом, диалектном значении.

В основе лежит не столько действие «завязывать узел», сколько состояние «завянуть» или «завязнуть». В русских говорах слово «завялый» означало вялый, медлительный, апатичный человек. «Завьялка» — это тот, кто завял, потерял бодрость, либо, по другой версии, человек, который «завязал» в каком-то деле — увяз, застрял в хлопотах. Прозвище давали нерасторопному или, наоборот, слишком погруженному в работу крестьянину.

Модель образования типична для северных и центральных областей России: суффикс -к- в прозвище (Завьялка) указывает на лицо, часто с оттенком пренебрежения или уменьшительности, а затем фамильный суффикс -ов-/-ев- добавил принадлежность («чей?» — сын Завьялки). Таким образом, Завьялков — буквально «сын Завьялки».

Интересно, что у фамилии есть «двойник» — Завьялов. Она образована от той же основы, но через другую модель (без суффикса -к-). Завьялов происходит напрямую от прозвища Завялый. Обе фамилии однокоренные, но Завьялкова встречается заметно реже, что делает её более локальной, привязанной к конкретным семьям в Вологодской, Архангельской или Костромской областях, где суффикс -к- в прозвищах был особенно распространен.

Никаких дворянских родов за этой фамилией не числится. Это стопроцентно крестьянская фамилия: её носители — потомки людей, которых в XVI–XVII веках в переписных книгах записали по уличному или бытовому прозвищу. В советское время фамилия не получила широкой известности, поэтому её географическая привязка осталась прежней — Север и Северо-Запад России.