Фамилия Зажеко звучит необычно для русского уха — и это прямой намёк на её происхождение. В ней нет типичных для восточнославянских фамилий суффиксов -ов, -ин или -ский. Вместо них мы видим окончание -ко, которое в украинском и белорусском языках выполняет ту же роль, что и русское -ов: указывает на принадлежность или родство. Так что Зажеко — это типичная украинская или южнорусская фамилия, образованная по модели «прозвище + -ко».

Корень здесь — «зажек-». Самая прямая версия: основа от глагола «зажечь» или «зажигать». Прозвище Зажека могли дать человеку, который работал с огнём: кузнецу, стеклодуву, сторожу, зажигавшему фонари, или просто тому, кто быстро и ловко разводил костёр. В говорах слово «зажека» могло означать «зажигалка» или «головешка», но как прозвище оно скорее описывало занятие, а не предмет.

Есть и вторая, менее очевидная версия. Фамилия могла возникнуть от имени Захар (в просторечии Зажар, Зажек) через усечение и добавление суффикса -ко. Такие переделки имён встречались сплошь и рядом: Захар → Зажко → Зажеко. В этом случае фамилия означала бы «сын Захара» или «маленький Захар».

Третью версию — связь с польским «żec» (жечь, палить) — стоит упомянуть, но она маловероятна для фамилии, бытующей в украинском и русском ареалах. Скорее всего, корень чисто восточнославянский.

Географически фамилия Зажеко встречается в основном на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в прилегающих районах Беларуси. В России она редка и обычно указывает на предков, переселившихся с юго-запада. Сословно носители могли быть как крестьянами, так и казаками — фамилии на -ко в равной степени бытовали в обеих средах.

Так что если вы Зажеко, ваши предки скорее всего жили на западе современной Украины или в южной Беларуси, а их прозвище или имя дало начало этой звонкой и редкой фамилии.