Фамилия Заживилова — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, не связано с внешностью, характером или профессией, а описывает конкретное действие. В её центре — глагол «заживить», то есть «зажить, зарубцеваться» или, в более широком смысле, «исцелить». Так могли прозвать человека, который лечил раны — знахаря, костоправа, а возможно, и просто человека, у которого самого всё быстро заживало. В говорах слово «зажива» означало и «исцеление», и «нарыв, болячку», поэтому не исключён и второй, менее очевидный вариант: прозвище могли дать тому, кто долго не мог оправиться от болезни.

Модель образования типична для северных и центральных областей России. Суффикс -ов- указывает на принадлежность: Заживилов — сын Заживила. Основа «заживил» — это форма прошедшего времени мужского рода, что встречается реже, чем отыменные прозвища. Такие «глагольные» фамилии (сравните: Непейвода, Убейкобыла, Живило) обычно возникали в крестьянской среде, где прозвище закреплялось за конкретным человеком по яркому поступку или свойству.

Двойное -и- в корне не должно сбивать с толку: это не ошибка и не вариант «Зажевилова». Приставка за- и суффикс -и- от глагола «жить» дают «заживить», а не «зажевать». Встречается написание через «е» (Зажевилов), но это диалектное или случайное изменение, основной вариант — именно с «и». Фамилия очень редкая, в списках массовых фамилий не значится, что говорит о локальном происхождении, скорее всего в одном из сёл бывшей Вологодской или Архангельской губернии, где сохранялись архаичные модели словообразования.

Интересно, что фамилия Заживилова не имеет однозначных «братьев» вроде Заживина или Зажиткина — это отдельная, самостоятельная ветвь ономастического дерева. Если ваш предок носил такое прозвище, он, вероятно, был либо деревенским лекарем, либо человеком с необычной способностью к выздоровлению, что в условиях старой деревни ценилось на вес золота.