Фамилия Здрожаева — редкий случай, когда основа почти наверняка указывает на физическую особенность или манеру поведения предка. В её центре лежит глагол «дрожать» с приставкой «з-» (старославянский вариант приставки «с-»). В древнерусском языке «здрожати» означало «затрястись», «вздрогнуть», «похолодеть от страха». Прозвище Здрожа, от которого пошла фамилия, могли дать человеку нервному, пугливому или, наоборот, тому, кто постоянно зяб и ёжился от холода — в северных говорах такое прозвище было бы особенно уместно.

Фамилия образована по продуктивной модели: прозвище на -а + суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Здрожи). Женская форма Здрожаева — это либо жена, либо дочь носителя фамилии. Суффикс -ев, а не -ов, здесь закономерен: после мягкого согласного (ж) в основе пишется «е». Встречается и вариант написания с буквой «о» в первом слоге — Здрожаев, что отражает акающее произношение, но исторически верным считается корень «дрож-».

Географически фамилия привязана к центральным и северным регионам России. По переписям XIX — начала XX века носители фамилии Здрожаевых фиксировались в Тверской, Ярославской и Вологодской губерниях. В этих краях слово «здрожать» бытовало в живой речи дольше, чем в южных говорах. Сословно предки, скорее всего, были крестьянами или мещанами — фамилии от прозвищ, а не от канонических имён, редко встречались у дворянства.

Стоит отметить, что у фамилии нет связи с церковными именами или названиями профессий, что делает её «чистым» прозвищем. В ономастических справочниках она не упоминается как широко распространённая, но её прозрачная внутренняя форма позволяет восстановить образ первого носителя без домыслов. Если ваш предок был Здрожаевым, он, вероятно, носил прозвище, данное за впечатлительность или за то, что часто дрожал от стужи — в условиях русского севера вторая версия выглядит даже более правдоподобной.