Фамилия Жарскийй — с двойной «й» на конце — выглядит как опечатка, но в реальных документах XIX века встречаются подобные артефакты: писарь мог механически прибавить лишнюю букву к фамилии на -ский, либо это результат ошибочного прочтения «i» как двух «й». В подавляющем большинстве случаев фамилия пишется с одной «й»: Жарский.

Разбирать её стоит с суффикса -ский, самого аристократичного в русской ономастике. В XVIII–XIX веках фамилии на -ский давали в духовных училищах и семинариях: будущим священникам искусственно конструировали фамилию от названия храма, иконы или церковного праздника. «Жарский» вполне могло возникнуть от «Жар» — так в народе называли день Ильи-пророка (жара в разгаре лета) или праздник Успения (называли «Жаркое Успенье»). Семинарист, родившийся или крещённый в эти дни, легко получал фамилию-календарь.

Вторая версия, более прозаичная, — от прозвища Жар. В северных и сибирских говорах «жар» означало не только огонь, но и угли, головешки, а также горячее место в бане. Прозвище Жар могли дать человеку с рыжими волосами, вспыльчивому, либо тому, кто работал у печи — печнику, кузнецу, углежогу. От прозвища через суффикс -ский (по модели «князь Жарский» — владелец усадьбы или поместья, названного по прозвищу) и возникла фамилия. В польской традиции, откуда пришла эта модель, Жарский (Żarski) могло быть топонимическим: от села Жары (Żary) в Силезии или от слова żar — жар, пыл.

Встречается фамилия и в варианте Жарсков — это типичная форма для центральной России, где -ский на письме упрощали до -ской, а затем переосмысливали как -сков. Если ваши предки — крестьяне южных губерний, скорее всего, они носили фамилию Жаренко или Жарко, а Жарский — её «облагороженная» версия, полученная при переписи или в армии.

Единственное, что можно сказать уверенно: основа «жар» не имеет отношения к слову «жаркий» в современном бытовом смысле. Это либо церковный календарь, либо прозвище по занятию или характеру. Двойное «й» на конце — ошибка, которую стоит исправить при обращении в архивы, иначе поиск предков зайдёт в тупик.