Фамилия Жегодский — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает прозвищное происхождение. Типичный суффикс -ский указывает на дворянский или шляхетский способ образования фамилий от названия местности. В польской и западнорусской традиции такие фамилии означали «тот, кто родом из такого-то места». Искать это место стоит в Беларуси или на северо-западе России: там есть несколько топонимов Жегодзь, Жегода, Жегодск. Например, деревня Жегодзь или похожие названия встречаются в исторических уездах Виленской и Ковенской губерний. Скорее всего, предок носителя фамилии владел землёй или жил в таком селении.

Корень «жегод-» не очевиден. В белорусских говорах есть слово «жагода» — ягода, но с твёрдым «ж» и под ударением. Если предположить, что исходная форма была «Жагода», то фамилия могла означать «живущий у ягодного места». Однако в польском языке «żegoda» (жегода) может быть вариантом слова «zgoda» — согласие, мир, но с приставкой. Это маловероятно: скорее всего, топоним древнее, балтского или ятвяжского происхождения, и его значение уже не восстанавливается без специальных изысканий.

Написание с «е» после шипящего — норма для русской передачи польских и литовских названий. В польском оригинале фамилия могла выглядеть как Żegodzki, а в дореволюционных документах встречается вариант «Жегодзкий». Сословно фамилия не обязательно дворянская: в XIX веке суффикс -ский активно перенимали крестьяне и мещане, переселявшиеся из деревни в город, поэтому Жегодские могли быть и шляхтой, и простыми крестьянами, вышедшими из одного гнезда.

Спорных версий две: связь с личным именем (например, Жегод — гипотетическое прозвище от «жечь» или «годный») и связь с польским «żegota» (забота, опека). Обе слабые — ни в одном словаре личных имён такое имя не зафиксировано, а форма «Жегодский» слишком точно ложится на топонимы, чтобы считать её случайной. Так что для человека с этой фамилией самый прямой ответ: ваши предки, скорее всего, выходцы из небольшого села или усадьбы с корнем «жегод-» на территории современной Беларуси или Литвы.