Фамилия Желихажев — редкая, с очень узнаваемой конструкцией. Сразу видно, что она образована по тюркской модели: основа плюс аффикс принадлежности и русский патронимический суффикс. Разберём её по частям.

Ключевой элемент — «-жев» на конце. Это не что иное, как русифицированное окончание кабардино-черкесских или адыгских фамилий, которые в оригинале часто заканчиваются на «-же» (например, Хагуров — от Хагура). В русской записи такие фамилии получали суффикс «-ев» по аналогии с отчествами. Таким образом, «Желихажев» — это «сын (потомок) Желихажа» или «из рода Желихажевых».

Основа «Желихаж» (или «Желихаже») — сложное имя. В адыгской антропонимии (науке об именах) часто встречаются имена, состоящие из двух корней. Первая часть «Жели-» (или «Жэли-») может восходить к адыгскому «жьэ» — «рот», «уста», но в переносном смысле — «речь», «слово». Вторая часть «-хаж» (или «-хъаж») — вероятно, связана со словом «хъаж» — «судья» или «святой», «хаджи» (человек, совершивший хадж). Вместе имя могло означать «праведный судья» или «обладатель святого слова», то есть человек, чьё слово имело вес, авторитетный старейшина.

Географически фамилия почти наверняка привязана к Кабардино-Балкарии или Карачаево-Черкесии. Это типичная западно-кавказская (адыгская) фамилия, которая встречается в среде кабардинцев и черкесов. В дореволюционной России носители таких фамилий относились к горским сословиям — от князей (пши) и дворян (уорки) до свободных общинников (тфокотли). Сказать точно, к какому сословию принадлежал род Желихажевых, без генеалогических записей сложно, но сам тип фамилии (на «-жев») не указывает на элитарность, он распространён среди всех слоёв.

Интересная деталь: в русских документах XIX — начала XX века эта фамилия могла писаться по-разному — «Желихажев», «Желихазов», «Джелихажев». Разнобой в передаче гортанных звуков кириллицей — обычное дело. Поэтому, если вы ищете предков, стоит проверять все варианты написания, особенно в метрических книгах и ревизских сказках Ставропольской губернии или Кубанской области, куда входили адыгские земли.