Фамилия Журакивський — украинская по происхождению, что выдают суффикс -ськ-ий и типичная для западноукраинских говоров основа. В отличие от русских фамилий на -ский, которые часто образовывались от названий населённых пунктов (дворянские или семинарские), украинские фамилии на -ський нередко возникали из прозвищ или местных топонимов стихийно, без связи с сословием. В данном случае корень — «журак», а не «журавль», как могло бы показаться на первый взгляд.

Слово «журак» в украинских диалектах имеет два значения. Первое — уменьшительное от «жур» (горе, печаль), то есть «журак» мог быть грустным или печальным человеком. Второе — в некоторых говорах так называли журавля (птицу), но с усечением основы: «журавель» → «журак». Правдоподобнее версия с прозвищем по характеру: в украинской антропонимии много фамилий от эмоциональных состояний (Журба, Журило, Невеселий). Версия с птицей слабее, потому что для журавля в украинском есть устойчивые фамилии Журавель, Журавленко, Журавський — «журак» для птицы редкое и локальное слово.

Суффикс -ивський (в написании -iвський) указывает на принадлежность к кому-то или чему-то: Журакивський буквально значит «относящийся к Жураку» или «из рода Журака». Так могли назвать сына человека по прозвищу Журак или жителя села, где жил этот Журак. Географически фамилия привязана к западным областям Украины — Галиции, Волыни, Подолью, где суффикс -ивський особенно распространён. В центральной и восточной Украине чаще встречались бы формы Журак, Жураченко, Жураковский.

В польском языке есть похожая фамилия Żurakowski, но она образована от топонима Жураков (населённый пункт в Польше). Украинский вариант Журакивський — самостоятельное образование, не калька с польского. Встречается редко, что типично для фамилий, не прошедших через массовую унификацию в советских паспортных столах. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из небольшого села или хутора на западе Украины, а родоначальником был человек с прозвищем Журак — либо меланхоличный, либо (менее вероятно) похожий на журавля.