Фамилия Жывко — редкий случай, когда написание сразу выдаёт носителя. Это украинская или южнорусская фамилия, и её форма с буквой «ы» — не ошибка, а прямое указание на происхождение. В украинском языке после твёрдых согласных (ж, ш, ч, щ) пишется «и», но в старой орфографии и в некоторых говорах, особенно на Слобожанщине и в Запорожье, «ы» сохранялось как диалектная или историческая черта. Поэтому Жывко — это не просто вариант, а фонетически точная запись того, как фамилия звучала в живой речи.

Основа фамилии — прозвище или неканоническое имя Жывко, образованное от корня «жив-» (от «живой», «жить»). Суффикс -к-о типичен для украинской и польской антропонимии: он придаёт слову уменьшительно-ласкательный или обиходный оттенок. Так могли назвать подвижного, энергичного ребёнка, которого трудно унять — «живчика». Но есть и другая версия, более приземлённая: в южнорусских говорах «жывко» (или «живко») означало «живность», «домашняя скотина», а иногда — «жилец», «постоялец». Прозвище мог получить скотник, торговец живностью или человек, который держал постоялый двор.

Словообразовательная модель здесь проста: корень + суффикс -к- + окончание -о. Фамилия не имеет патронимического суффикса (-ов, -ин), то есть она не отвечает на вопрос «чей сын?», а застыла в форме прозвища. Это характерно для казацких и крестьянских фамилий Запорожья, Полтавщины, Харьковщины. В России подобные бессуффиксные фамилии на -ко встречаются реже и обычно воспринимаются как украинизмы.

Встретить фамилию Жывко можно в основном в Украине, а также среди потомков украинских переселенцев в Краснодарском крае, на Кубани и в Воронежской области. Вариант с «ы» сегодня считается устаревшим, в современных документах его часто заменяют на «Живко», но если человек упорно пишет «Жывко», это почти наверняка семейная традиция, уходящая корнями в XIX век, когда орфография была менее унифицированной.

С точки зрения социального контекста, носители фамилии — вероятнее всего, потомки казаков или государственных крестьян южных губерний. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, и это логично: прозвище «живко» слишком бытовое, чтобы стать основой для герба.