Фамилия Зливков — одна из тех, где сразу бросается в глаза необычная основа. В русском языке нет общеупотребительного слова «зливко» или «зливок», поэтому версия о прямом прозвище, образованном от нарицательного существительного, отпадает. Скорее всего, перед нами патроним — фамилия, образованная от личного имени или прозвища предка через притяжательный суффикс -ов. Суффикс указывает на принадлежность: Зливков буквально значит «сын (или потомок) Зливка».

Ключ к разгадке — в корне «злив-». Он явно восходит к глаголу «злить» или «злиться». В русских говорах и в исторической антропонимии известны прозвища, образованные от глагольных основ: Злоба, Злыдень, Злыдарь. Человека могли прозвать Зливок за вспыльчивый, раздражительный характер. Форма на -ок (как Гуляй — Гуляйко, Гуляйка, или Молчун — Молчанка) типична для древнерусских прозвищ: суффикс -ок придавал оттенок уменьшительности или, наоборот, закреплял характерный признак. Зливок — это «тот, кто злится», «сердитый человек».

Вторая, менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным словом «зливки» (или «зливки») — снятые сливки, остатки при перетапливании масла. В некоторых южнорусских и украинских говорах так называли пенку или осадок. Прозвище Зливок мог получить человек, занимавшийся переработкой молока, или же оно имело переносное значение — «нечто снятое, неглавное». Однако эта гипотеза слабее: в русской ономастике прозвища от названий молочных продуктов редки, а корень «злив-» в значении «сливать» (от «сливки») обычно пишется через «и» — «слив-». Фамилия Сливков существует, но она образована от другого корня.

Географически фамилия Зливков встречается редко. Основные очаги — юг России (Ростовская, Волгоградская области) и восток Украины. Это косвенно подтверждает версию о прозвищном происхождении: в казачьей среде и среди крестьян южных губерний прозвища по характеру были распространены шире, чем в центральных районах.

Таким образом, наиболее правдоподобно, что первый носитель фамилии — человек по прозвищу Зливок, которого окружающие запомнили как раздражительного или гневливого. Со временем прозвище закрепилось за его потомками в форме Зливковы, и сегодня это редкая, но выразительная фамилия с прозрачной внутренней формой.