Фамилия Зянкина — это женская форма фамилии Зянкин, а та, в свою очередь, образована по самой распространённой в русском языке модели: от личного имени или прозвища с помощью суффикса -ин. Суффикс указывает на принадлежность: Зянкин буквально значит «сын Зянки» или «человек из рода Зянки».

Основа здесь неочевидная. В русских говорах и в ономастике слово «зянка» не фиксируется как самостоятельное. Скорее всего, это производная форма от канонического имени Зиновий. В народной речи имя Зиновий сокращали до Зиня, а от него могли образовать уменьшительно-ласкательный вариант Зянка (с заменой корневого гласного под влиянием диалектного произношения, где «и» переходило в «я»). Подобные перестройки встречаются: Зиновий → Зиня → Зянка — вполне естественный ряд для живой разговорной традиции.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским корнем «зян» (ущерб, потеря, вред). В этом случае прозвище Зянка могли дать человеку невезучему или тому, кто часто нёс убытки. Но для центральной России, где фамилия встречается чаще, первое объяснение — от имени Зиновий — выглядит правдоподобнее.

Фамилия Зянкина не относится к числу аристократических или дворянских. Её носители — выходцы из крестьянской или мещанской среды, преимущественно из северных и центральных губерний России. Встречается она нечасто, что делает её интересным объектом для локальных генеалогических разысканий. Если ваши предки — Зянкины, стоит искать их в метрических книгах Вологодской, Костромской или Вятской губерний: там эта фамилия фиксируется с XIX века.