Фамилия Абеуев — редкий случай в русском ономастиконе, и её происхождение нужно искать не в славянских корнях, а на стыке тюркских языков и русской словообразовательной модели. Основа фамилии — личное имя Абеу (или Абиу), которое восходит к тюркскому «аба» (отец, старший родственник) или к арабскому «аби» (отец, обладатель). В обоих случаях имя несло уважительный оттенок: так могли назвать мальчика в честь деда или в знак пожелания стать главой рода. Суффикс -ев указывает на то, что фамилия формировалась по русской патронимической схеме — как «сын Абеу» или «из рода Абеу».

Географически фамилия тяготеет к регионам, где веками жили тюркские народы в соседстве с русскими: Поволжье, Приуралье, юг Сибири. Встречается она и у башкир, и у татар, и у казахов — в каждом из этих языков имя Абеу могло иметь свои нюансы произношения. В русскую фамильную систему её записали при переписях или при крещении: если предок был мусульманином, фамилию могли дать по отцу без изменения корня, просто добавив -ев.

Что интересно: в фамилии нет уменьшительных или уничижительных суффиксов (вроде -к- или -ш-). Это значит, что основа Абеу в момент закрепления фамилии воспринималась как полноценное, уважительное имя, а не прозвище. Поэтому предки носителя фамилии, скорее всего, были людьми заметными в своей общине — старейшинами, зажиточными крестьянами или мелкими служилыми людьми. Дворянских родов с такой фамилией в дореволюционных справочниках не зафиксировано, так что корни у неё, вероятнее всего, крестьянские или казачьи.

Написание через «е» после «у» — Абеуев, а не Абеув — говорит о том, что имя-основа склонялось по второму склонению (как «отец» — «отца»). Встречается и вариант Абиуев, но он менее распространён. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах Оренбургской, Уфимской или Тобольской губерний — там фамилия могла записываться с разными гласными, но корень оставался тем же.