Фамилия Абуаби — один из тех редких случаев, когда русская по форме фамилия хранит в основе иноязычное имя. Её носители, скорее всего, имеют корни на Кавказе или в среде тюркских народов, а сама фамилия образовалась на русской почве уже в XIX–XX веках.

Разбираем основу. «Абу» — распространённый компонент арабских и тюркских имён, означающий «отец» (например, Абу-Али — «отец Али»). Вторая часть «аби» может быть искажением имени собственного или арабского слова «аби» (отец в родительном падеже), что даёт удвоение смысла. Однако правдоподобнее, что перед нами имя Абу Аби — то есть «отец Аби», где Аби — сокращение от Абдулла, Ибрагим или другого имени. В тюркской среде такие сложные имена не редкость, а при записи в российских документах их могли записать слитно.

Суффикс отсутствует — фамилия Абуаби стоит в чистой, не русифицированной форме. Это нетипично для русских фамилий, которые обычно получали суффиксы -ов, -ин, -ский. Отсутствие суффикса говорит о позднем возникновении: фамилию могли записать со слов носителя, не переделывая на русский лад. Сравните с фамилиями Абубакиров или Абушаев — у них основа та же, но добавлен суффикс принадлежности.

Географически фамилия Абуаби встречается среди народов Дагестана, чеченцев, ингушей, а также у тюрков (кумыков, ногайцев). В метрических книгах XIX века её почти нет — это указывает на то, что фамилия закрепилась поздно, возможно, уже в советское время при паспортизации горских народов. Предки носителя фамилии могли быть аульскими жителями, чьё родовое имя или прозвище отца стало фамилией без изменений.

В русском языке фамилия склоняется как существительное мужского рода (Абуаби, Абуаби, об Абуаби), у женщин не склоняется. Вариантов написания немного: встречается Абу-Аби (через дефис), но слитная форма стала основной.