Фамилия Абыканова — женская форма, образованная от мужской Абыканов. В современном обиходе это просто грамматический вариант для женщины, хотя исторически так могли называть дочь или жену носителя фамилии. Мужская основа построена по стандартной русской модели с суффиксом -ов, отвечающим на вопрос «чей?». То есть Абыканов — сын или потомок человека по имени или прозвищу Абыкан.

Ключ к происхождению лежит в основе «Абыкан». Это не славянское, а тюркское имя. В татарском, башкирском и казахском языках корень «абы» или «аба» означает «старший родственник», «дед», «предок» или «отец». Компонент «-кан» — распространённый тюркский формант, образующий личные имена и прозвища (сравните: Айкан, Батыркан). Скорее всего, Абыкан было либо личным именем со значением «старший хан» или «почтенный предок», либо прозвищем, которое давали уважаемому человеку в общине. Суффикс -ов, а не -ин, подтверждает, что основа воспринималась как слово мужского рода (Абыкан), что типично для фамилий, образованных от тюркских имён.

Географически фамилия Абыкановы встречается преимущественно в регионах с тюркским населением: в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях, а также в Казахстане. В русских документах фамилия могла закрепиться за крещёными татарами или башкирами, которые переходили в православие и получали фамилию по имени отца или деда.

Спорных версий немного. Иногда корень «абы» пытаются связать с арабским «аби» (отец), но это менее вероятно: в тюркских языках «абы» — самостоятельное слово с родовым значением. Не стоит путать Абыканова с фамилией Абызов (от «абыз» — грамотей, мулла): при внешнем сходстве у них разные корни.

В итоге: носительница фамилии Абыканова, скорее всего, имеет тюркские корни, а её предки носили имя или прозвище Абыкан, означавшее уважаемого старшего в роду. Фамилия нечастая, но для этимолога вполне прозрачная.