Фамилия Абзиев — редкий случай, когда основа не поддаётся однозначной славянской или тюркской этимологии. Фамильный суффикс -ев указывает на русскую модель оформления: иноязычное имя или прозвище адаптировали к русскому документообороту, прибавили патронимический суффикс, и «Абзий» превратился в «Абзиев». Это типичная история фамилии, возникшей в среде, где имя отца записывали по-русски при переписях или в метриках.

Корень «Абзи-» — самый спорный. Первая и самая вероятная версия ведёт к тюркским языкам, где «абзи» (или «абзы») означает «старший брат», «дядя», «уважаемый старший родственник». В татарской, башкирской, карачаево-балкарской среде это слово использовалось как почтительное обращение к мужчине старше по возрасту или положению. Прозвище Абзий могли дать либо старшему сыну в семье, либо человеку, который выполнял роль старейшины, — и за ним закреплялось имя-титул. Фамилия Абзиев тогда означает «потомок Абзия», то есть человека, которого звали Старший Брат. В ономастических трудах по тюркским фамилиям такая модель встречается: личное прозвище, обозначающее родственную или социальную роль, становится родовым именем.

Вторая версия — кавказская. В осетинском языке есть имя Абзи, которое может восходить к древнему личному имени или топониму. Фамилия Абзиев встречается среди осетин (особенно дигорцев) и ингушей. Здесь, скорее всего, мы имеем дело с родовым именем, которое при записи в русские метрики получило стандартное окончание -ев. Географический ареал фамилии в этом случае сужается до Северного Кавказа. Интересно, что у дигорцев фамилии на -ев часто образовывались от имён, оканчивающихся на гласный, что косвенно подтверждает эту гипотезу.

Третье, менее правдоподобное, объяснение — арабское. «Абзи» можно попытаться связать с корнем «абд» (раб, слуга), но это потребовало бы сильной фонетической натяжки, поэтому серьёзные ономасты эту версию обычно не рассматривают.

Социальный срез: фамилия Абзиев не дворянская, не купеческая. Её носители — в основном крестьяне, горцы, казаки, получившие фамилию по имени отца при переписях XIX века. В современной России фамилия встречается точечно: в Кабардино-Балкарии, в Осетии, в Чечне, а также среди татар и башкир. Заметного числа известных носителей нет — фамилия остаётся локальной, что только подчёркивает её бытовое, а не книжное происхождение. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в горной или степной местности, где имя отца или уважительное прозвище закреплялось за всем родом.