Фамилия Адрузова — женская форма, мужская — Адрузов. Её разумно начинать с суффикса: окончание -ов указывает на принадлежность («чей?» — Адрузов, то есть потомок Адруза). Основа фамилии — личное имя или прозвище Адруз, которое в современном русском языке не встречается и явно имеет иноязычные корни.

Скорее всего, Адруз — тюркское имя. В тюркских языках есть корень adır- (отделять, разделять, различать), от которого образованы имена со значением «отличный», «особенный». В карачаево-балкарском языке, например, есть слово адру — «другой, иной», а в древнетюркском adruq — «отборный, лучший». Таким образом, Адруз могло быть именем-пожеланием: родители называли так ребёнка, желая ему выделяться среди других, быть необычным. Менее вероятна, но возможна связь с арабским адрус (гладкий, лишённый волос) — такое прозвище могли дать человеку с редкой растительностью на лице или с лысиной.

География фамилии подсказывает её происхождение. Адрузовы — нечастая фамилия, и её очаги находятся на Северном Кавказе, особенно в Кабардино-Балкарии и Карачаево-Черкесии. Среди балкарцев и карачаевцев фамилии на -ов(а) — результат русификации в XIX–XX веках, когда к национальным именам добавляли русский патронимический суффикс. Поэтому предок носителей фамилии, скорее всего, был балкарцем или карачаевцем по имени Адруз, и его дети стали записываться как Адрузовы.

Интересная деталь: фамилия избежала типичного для русского языка перехода «з» в «ж» перед суффиксом (сравните с фамилией Дружинин от Друга). Это косвенно подтверждает её позднее, письменное закрепление — когда имя уже было записано, его не стали адаптировать под живую русскую фонетику. Так что Адрузова — не случайное искажение, а точная фиксация тюркского имени в русском паспорте.