Фамилия Агалыева — женская форма фамилии Агалыев, и её основа, скорее всего, тюркская. Разбираем по частям: корень «агалы» и суффикс принадлежности «-ев». «Агалы» в тюркских языках (например, в азербайджанском, турецком, кумыкском) означает «старший брат» или, шире, «господин», «почтенный человек». Суффикс «-лы» (или «-ли») в тюркских языках — показатель обладания, то есть «агалы» — это «имеющий старшего брата» или «относящийся к старшему». Однако в роли прозвища или имени слово могло закрепиться иначе: «агалы» могло означать «почтенный», «уважаемый», «как старший брат».

Модель образования фамилии Агалыев — типичная для русификации тюркских прозвищ и имён. К основе «Агалы» добавили русский патронимический суффикс «-ев», который указывает на принадлежность («сын Агалы»). Такая схема массово применялась в XIX — начале XX века при записи фамилий у народов Кавказа, Поволжья и Средней Азии, особенно в среде татар, башкир, ногайцев, кумыков. Если предок был выходцем из Азербайджана или Дагестана, фамилия могла сохранить и местное произношение, но на письме закрепилась в русской адаптации.

Интересно, что фамилия Агалыева (и её мужской вариант) встречается преимущественно в регионах, где исторически жили тюркоязычные народы: в Дагестане, Чечне, Астраханской области, а также среди кавказских татар. Встречается она и у азербайджанцев. В отличие от более частых фамилий на «-оглы», форма на «-ев» — результат бюрократической унификации, когда при советской паспортизации отсекали тюркские окончания и заменяли их на русские. Поэтому Агалыев — не столько «сын Агалы», сколько «человек, записанный по отцу Агалы в российских документах».

С точки зрения этимологии версия с прозвищем «Агалы» как «почтенный» кажется правдоподобнее, чем буквальное «имеющий старшего брата». В ономастике тюркских народов прозвища, указывающие на социальный статус или уважение, часто становились основами фамилий. Например, однокоренные фамилии Агаев, Агаларов, Агалычев. Но Агалыев стоит особняком из-за суффикса «-лы», который в русских фамилиях встречается редко и почти всегда указывает на тюркское происхождение.

Таким образом, фамилия Агалыева — это русифицированная форма тюркского прозвища, означающего «почтенный» или «старший». Носительница этой фамилии может с высокой вероятностью проследить свои корни к тюркоязычным народам Кавказа или Поволжья, где такое прозвище давали уважаемому человеку, старшему в роде или просто человеку с авторитетом.