Фамилия Аггашян — редкий случай среди русских фамилий. Она не вписывается в привычную славянскую модель на -ов, -ин или -ский. Её выдают окончание -ян и характерный корень: перед нами армянская фамилия, образованная по классическому для Закавказья суффиксальному типу. Суффикс -ян (в старой орфографии -янц) означает «принадлежащий к роду», «из семьи». То есть Аггашян — это потомок человека по имени или прозвищу Аггаш.

Корень Аггаш- вызывает вопросы. В армянском языке нет прямого слова «аггаш» в значении «камень» или «ремесло», но есть основа «аг» — «злой», «гневный» (ср. арм. «аг» — «зло»). Вторая часть могла быть суффиксом или искажением. Более вероятно, что это вариант тюркского или персидского имени Агаш (от «ага» — «господин», «старший») с армянским окончанием. В таком случае Аггашян — «сын господина» или «потомок уважаемого человека». Двойное «г» в русской записи — скорее всего, следствие передачи армянской фонетики: на слух согласный мог произноситься твёрже, чем в оригинале.

Географически фамилия тяготеет к регионам исторической Западной Армении (ныне восток Турции) и к Нагорному Карабаху. В России Аггашян встречается единично, в основном в Краснодарском крае и Москве — там, куда переселялись армяне в XIX–XX веках. Носители могли быть ремесленниками, торговцами или крестьянами, но сословная принадлежность по фамилии не определяется: армянские фамилии редко указывали на профессию, чаще на родство.

Если сравнивать с однокоренными, то логичнее всего поставить рядом фамилии Агашян, Агаджанян и Агабабян. Все они восходят к имени Ага (персидское «господин»), но Аггашян — более редкая форма, возможно, с диалектным произношением. Встретить её в исторических документах до XIX века почти невозможно: армянские фамилии закрепились поздно, в основном при Российской империи, когда начали переписывать население Закавказья.

Так что Аггашян — фамилия с ясной моделью (армянское -ян) и неочевидным корнем, который скорее всего восходит к тюрко-персидскому «ага» с местным армянским оформлением. Никакой другой, более древней или славянской версии у неё нет.