Фамилия Агняникова происходит от мужской формы Агняников, а ту, в свою очередь, образовали от прозвища или нецерковного имени Агнян (или Огнян). Основа здесь прямая: церковнославянское «агнь» или древнерусское «огнь» — то есть огонь. Прозвище могли дать человеку с горячим, вспыльчивым нравом либо тому, чья работа была связана с огнём: кузнецу, плавильщику, печнику.

Разберём словообразовательную цепочку. От прозвища Агнян с помощью суффикса «-ик» образовали форму Агняник — буквально «сын или потомок Агняна». Затем к ней добавили стандартный патронимический суффикс «-ов», и получилась фамилия Агняников. Модель редкая: корень отсылает к стихии, а не к крестильному имени, и «-ик» в таких прозвищных фамилиях встречается не каждый день.

В южнославянских языках — болгарском, сербском — имя Огнян вполне распространено. У восточных славян такие прозвища тоже бытовали, но в виде фамилий они закрепились редко. Географически Агняникова тяготеет к южнорусским и украинским областям: там мягкое «г» и аканье давали форму Агнян вместо Огнян. Фамилия редкая, что указывает на локальное, возможно, однодворческое или казачье происхождение.

Существует менее вероятная версия: основа могла восходить к церковному имени Агний (от греческого «агнос» — чистый, святой). Но тогда фамилия выглядела бы скорее как Агниев или Агньев. Агняников явно «народнее» — это прозвищная, а не календарная модель. Ещё одно толкование — от слова «агнец» (ягнёнок), дескать, «агняник» мог означать пастуха ягнят. Но оно фонетически натянуто: ударение и гласные в корне расходятся.

Точных данных о сословной принадлежности первых носителей нет. Но суффикс «-иков» в сочетании с прозвищем характерен для крестьянских и мещанских фамилий XVII–XIX веков, когда фамилии ещё не устоялись и записывались «по отцу» в документах.