Фамилия Аксайскова — женская форма фамилии Аксайсков, и её разбор стоит начать с географии, а не с корня. Основа здесь — топоним Аксай, название нескольких рек и населённых пунктов, самый известный из которых — город Аксай в Ростовской области. Суффикс -ск- в фамилии указывает на связь с местностью: такую модель в XIX веке часто давали выходцам из сёл, станиц или городов, особенно если человек переезжал и получал прозвище по прежнему месту жительства. Таким образом, Аксайсков — это «тот, кто родом с Аксая».

Мужская форма Аксайсков встречается редко, а женская Аксайскова — ещё реже, что делает её интересной для ономастики. В отличие от массовых фамилий на -ов (Иванов, Петров), здесь суффикс -ск- ближе к дворянскому или семинарскому типу, но в данном случае он явно народный: Аксай — не столица, а донской или крымский топоним. Скорее всего, предок носителя фамилии был казаком или крестьянином, переселившимся из станицы Аксайской (ныне Аксай) на Дону. В пользу этого говорит и то, что в казачьей среде фамилии по месту жительства были обычны — например, Донсков, Кубансков.

Слово «Аксай» тюркского происхождения, означает «белая река» или «светлая вода» (ак — белый, сай — речка, русло). В русских говорах оно закрепилось как название, и фамилия Аксайскова буквально переводится как «принадлежащая к Аксаю». Споров о происхождении почти нет: альтернатива — связь с личным именем Аксай (тоже тюркским), но это менее вероятно, так как суффикс -ск- типичен именно для топонимических фамилий, а не для отчеств.

Из-за редкости фамилии её носители, скорее всего, сосредоточены в Ростовской области, на юге России, а также среди потомков донских казаков, рассеянных по стране. В дореволюционных списках фамилия не встречается в дворянских родословных — это однозначно крестьянско-казачья среда.