Фамилия Аксюхин — один из тех случаев, когда разбор суффикса сразу указывает на регион и модель образования. В ней «-ин», а не «-ов», что значит: в основе лежит имя или прозвище, оканчивающееся на гласный или мягкий согласный. Это типично для северных и центральных русских говоров, а также для фамилий, образованных от женских имён (хотя здесь случай другой).

Корень — Аксюх-, а это народная, обиходная форма церковного имени Авксентий (в просторечии — Аксён, Аксюта, Аксюха). Имя греческое, означает «растущий», «увеличивающийся». На Руси его давали редко, но в крестьянской среде оно обросло десятками уменьшительных вариантов. Аксюхин — буквально «сын Аксюхи» или «человек из рода Аксюхи».

Есть и вторая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «аксюха» — прозвище человека с необычной походкой, от глагола «аксать» (ковылять, хромать). Но она слабее: слово «аксать» редкое, локальное, и фамилии от него обычно сохраняют корень «Акс-» в другом суффиксе (Аксаков, Аксёнов). Для Аксюхина первично именно крестильное имя.

Географически фамилия привязана к центральным и северо-западным областям: её много в Тверской, Псковской, Новгородской губерниях. Там же встречаются однокоренные Аксютов, Аксютин, Аксёнкин. Аксюхин — одна из самых «коротких» ветвей этого гнезда: суффикс «-юх-» сразу говорит о разговорной, даже фамильярной форме имени, которую могли дать ребёнку или слуге. В документах XVI–XVII веков такие фамилии встречаются в писцовых книгах, но без указания на сословие — носителями могли быть и крестьяне, и посадские люди.

Итог: Аксюхин — фамилия от канонического имени Авксентий через его просторечную форму. Возникла не позднее XVII века, скорее всего, в среде русского крестьянства или мелких служилых людей. Связи с дворянством или известными историческими личностями нет — это рядовая, но оттого не менее показательная фамилия, сохранившая живую народную речь.