Фамилия Акунаева — женская форма фамилии Акунаев, и её происхождение стоит искать не в славянском, а в тюркском или кавказском именослове. По структуре это типичная «сыновья» фамилия: к основе Акунай добавлен русский патронимический суффикс -ев, который в XVI–XIX веках приращивали к нерусским именам при оформлении фамилий в документах. Женский вариант на -а закрепился только в советских паспортных книгах, когда жёнам и дочерям стали давать окончание, отражающее принадлежность к роду.

Корень Акунай — это, скорее всего, личное имя или прозвище. В тюркских языках распространена модель с аффиксом -ай, который образует ласкательные или уменьшительные имена (ср. Алтай, Каратай). Первая часть может восходить к слову «ак» — «белый», «чистый», «благородный». Тогда Акунай — «Беленький», «Светлый». Вторая, не менее правдоподобная версия: основа от имени Унай или Анай, которое бытовало у кумыков, ногайцев, балкарцев и народов Дагестана. В этом случае Акунай — вариант с начальным а-, возникший под влиянием русского произношения или местных диалектов. Спор между этими гипотезами не разрешить без генеалогии конкретной семьи: в одном регионе имя могло значить «светлый», в соседнем — быть искажением другого имени.

Фамилия редкая, её географическое ядро — Северный Кавказ и юг России, в первую очередь Кабардино-Балкария, Карачаево-Черкесия, Ставропольский край. Встречается также у казахов (как Ақұнаев), но там ударение иное, и написание в русской передаче может совпадать случайно — это омонимичные, а не родственные фамилии. В дореволюционных записях фамилию могли фиксировать как Акунаев, Окунаев. Носители фамилии, как правило, из крестьянского или горского сословия: предки могли быть скотоводами, ремесленниками или служилыми людьми на пограничных линиях. Дворянских родов Акунаевых не зафиксировано, что типично для фамилий, оформленных от нерусских имён в среде простого населения.

Если искать однокоренные фамилии, то Акунаев стоит в одном ряду с Акуловым, Акушевым, Акучаевым — все они образованы от личных имён на -ай, но с разными корнями. Общего предка у этих фамилий нет, их объединяет только словообразовательная модель.