Фамилия Акужина — женская форма, указывающая на принадлежность к роду: «чья?» — Акужина, то есть жена или дочь Акужина. Мужской вариант, Акужин, построен по продуктивной модели с суффиксом -ин, который в русских фамилиях присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я. Значит, в основе лежало личное имя или прозвище Акужа.

Самое вероятное объяснение основы — диалектное или просторечное имя Акужа, производное от канонического имени Аким (Иоаким). В русских говорах имя Аким часто сокращали и видоизменяли: Акимка, Акимша, Акуша. Форма Акужа могла возникнуть как результат чередования звуков «ш» и «ж» — сравните переходы вроде «Маша» — «Мажа» в некоторых диалектах. Так что предок носителя фамилии, скорее всего, звался в быту Акужей, то есть попросту Акимом.

Менее вероятна связь с тюркскими корнями, если фамилия бытует в регионах с татарским или башкирским населением. В тюркских языках есть слово «ак» (белый, чистый) и основа «уж» (мастер, умелец), но слияние в личное имя Акужа не зафиксировано в известных ономастических словарях как распространённое. Поэтому версия с русским именем Аким остаётся основной.

Географически фамилия Акужин (и Акужина) встречается нечасто, преимущественно в центральных и южных областях России, а также в Поволжье. В XIX веке такие фамилии чаще всего носили крестьяне и мещане, поскольку дворянские роды обычно оформлялись через суффикс -ов/-ев.

Если искать аналоги, обратите внимание на фамилии Акулов, Акулинин, Акутин — все они образованы от разговорных форм имён, и Акужин стоит в том же ряду, сохранив редкий диалектный вариант основы.