Фамилия Акыев звучит непривычно для русского уха — и это подсказка: она явно не из центральной России. По всей видимости, её основа восходит к тюркскому личному имени Акы, которое в разных диалектах может означать «белый», «чистый», «светлый» или «благородный». В тюркской ономастике такие имена часто давали с пожеланием человеку счастливой и незапятнанной судьбы. Русский суффикс -ев, присоединённый к основе, — стандартный способ русификации фамилий народов Поволжья, Урала, Сибири и Кавказа. То есть Акыев — это «сын (или потомок) Акы». Встречается фамилия преимущественно у татар, башкир, а также у народов Кавказа, например у кумыков или ногайцев, где имя Акы (или Акай) известно в исторических родословных.

Словообразовательно фамилия проста: корень Акы- плюс патронимический суффид -ев. Ударение, скорее всего, падает на первый слог: А́кыев, хотя в некоторых говорах возможно смещение на второй. В русских документах XIX–XX веков фамилию могли записывать по-разному: Акыев, Акиев, Акаев — из-за особенностей передачи тюркских гласных кириллицей. Самый известный носитель схожей фамилии — бывший президент Киргизии Аскар Акаев, но его фамилия образована от другого корня (Акай). Акыев — более редкий, локальный вариант.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками из татарских или башкирских деревень, либо выходцами из северокавказских аулов. Дворянских родов с такой фамилией в Российской империи не зафиксировано — она оставалась в простонародной среде. В современной России фамилия встречается единично, чаще всего в Татарстане, Башкортостане и в Оренбургской области.