Фамилия Алгабшеева на слух сразу выдаёт свою тюркскую природу, и это не случайно. Её основа с суффиксом -ев указывает на происхождение из языков кавказских тюрков (кумыкского, ногайского) или народов Поволжья (татарского, башкирского). В центре фамилии лежит мужское имя или прозвище Алгабш, в котором соединились два тюркских корня: «алга» (вперёд, передовой) и «абш» или «абыш» (вождь, старейшина, либо производное от «абыз» — наставник, грамотей). Таким образом, Алгабш могло означать «передовой вождь», «первый среди старейшин» или «главный наставник». Это не бытовое прозвище, а скорее почётное именование, которое давали за заслуги или по положению в общине.

Суффикс -ев (женский вариант -ева) — стандартный русский патронимический формант, который присоединился к основе при оформлении фамилии в русской канцелярской традиции, чаще всего в XIX веке. Модель простая: Алгабш + ев = потомок Алгабша. Окончание -а в женском варианте — грамматический показатель рода, а не часть корня. Географически фамилия тяготеет к регионам, где тюркские народы долго и плотно контактировали с русским населением: Дагестан (особенно кумыкские села), Татарстан, Башкортостан, а также к астраханским и ставропольским степям. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении — от одного конкретного рода или аула.

Обратите внимание на написание через «г» (а не «к» — Алкабшев): оно сохраняет звонкое произношение исходного имени. В тюркских языках оглушение в начале слова редкое, и русская запись это зафиксировала. Других версий происхождения (например, от арабского корня) не существует — фамилия явно сложена на местной тюркской почве, без заимствований из классических языков.