Фамилия Алгаев — одна из тех, что прямо указывает на порядок рождения ребёнка в семье. В её основе лежит тюркское имя Алгай, которое переводится как «первый» или «первенец». У многих народов, особенно у тюркских и монгольских, была распространена традиция давать детям имена по очерёдности появления на свет: Башкорт (главный), Уртак (средний), Тунгалак (младший). Алгай стоит в этом же ряду.

Словообразовательная модель проста и прозрачна: к основе Алгай прибавился русский патронимический суффикс -ев, который указывает на принадлежность: «чей?» — Алгаев, то есть сын или потомок Алгая. Такая модель типична для фамилий, возникших в среде, где тюркские имена адаптировались под русскую грамматику при оформлении документов в XVI–XIX веках.

Интересно, что имя Алгай встречается не только у татар или башкир, но и у некоторых других народов Поволжья и Урала, а также у казахов. В казахском языке есть слово «алға» — «вперёд», что тоже может намекать на значение «первый, передовой». Однако в случае с фамилией Алгаев надёжнее связывать её именно с именем-порядковым номером, а не с наречием.

Географически фамилия распространена в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях, а также встречается среди сибирских татар. Встречаемость невысокая, что характерно для фамилий, образованных от редких или локальных имён.

Таким образом, если вы носите фамилию Алгаев, ваши предки в нескольких поколениях назад носили имя Алгай — скорее всего, это был первый сын в семье. Фамилия не имеет отношения к сословным или профессиональным прозвищам, она чисто именная и семейная.