Фамилия Алгаш встречается редко, и её происхождение не лежит на поверхности. Самый вероятный путь — географический, а не прозвищный или профессиональный. Основа «алгаш» почти наверняка не славянская, а тюркская. В ряде тюркских языков, например, в башкирском и татарском, слово «алга» означает «вперёд», а суффикс «-ш» может образовывать отглагольные существительные или имена. Однако напрямую переводить фамилию как «идущий вперёд» было бы натяжкой. Скорее, перед нами топонимическая фамилия: на Алтае и в Башкирии есть несколько рек и урочищ с названием Алгаш. Предок, переселившийся оттуда, мог получить прозвище по месту прежнего жительства. Косвенно это подтверждается тем, что носители фамилии Алгаш в основном фиксируются в Оренбургской области и Башкортостане — регионах с сильным тюркским субстратом.

Модель образования фамилии нетипична для русской ономастики. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский. Это так называемая «окаменевшая» форма — прозвище или этноним, который перешёл в фамилию без изменений. По сути, Алгаш — это не русифицированная, а исходная тюркская основа. Такие фамилии обычно указывают на недавнюю (в историческом смысле) ассимиляцию: предок мог быть башкиром, татарином или чувашом, чьё имя или прозвище закрепилось в русской среде без переделки. Встречается и версия, что «алгаш» — это искажённое «алгач» (передовой, первый), но в фамилиях подобные формы редки.

Стоит отметить, что в словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) фамилия Алгаш не упоминается — это говорит о её локальном характере и малой распространённости. В дореволюционных метрических книгах она встречается в основном среди государственных крестьян юго-восточных губерний. Сословно предки были, скорее всего, не дворянами, а крестьянами или казаками, что типично для фамилий, образованных от тюркских топонимов.

Итог прост: фамилия Алгаш — географическая метка, пришедшая из тюркского мира. Если вы её носитель, ваши корни, вероятно, ведут в Приуралье или на Южный Урал, а предок получил прозвище по названию реки или селения, откуда он родом.