Фамилия Алгашев — редкий случай, когда основа почти наверняка не славянская, а тюркская. Модель образования здесь простая: суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), а корень «Алгаш» — это личное имя или прозвище. В русской традиции так оформляли фамилии от любых иноязычных имён, если их носители переходили в православие или жили в смешанной среде.

Самая вероятная версия связывает основу с тюркским словом «алга» — «вперёд», «передовой». В татарском, башкирском и казахском языках «алга» имеет значение «вперёд, вперёд идущий». Имя Алгаш могло быть дано ребёнку с пожеланием быть первым, лидером, либо закрепиться как прозвище за удачливым или упрямым человеком. Менее распространённая, но возможная гипотеза — связь с именем Алгай (от «ал» — алый, красный), где суффикс -ш мог быть уменьшительным или ласкательным, как в тюркских именах Кудаш, Юныш.

Географически фамилия Алгашев привязана к Поволжью и Приуралью. В дореволюционных метрических книгах и ревизских сказках она встречается среди крещёных татар (кряшенов) и башкир, а также у русских крестьян, живших по соседству. Например, в записях по Казанской и Уфимской губерниям XIX века фиксируются Алгашевы — государственные крестьяне, часто из «инородческого» сословия, которое постепенно ассимилировалось. Суффикс -ев, а не -ин, говорит о том, что имя-основа оканчивалось на согласный (Алгаш), что типично для мужских имён в тюркских языках.

В отличие от фамилий с прозрачным ремесленным или географическим корнем, Алгашев — это антропонимическая загадка. Она не расскажет о профессии предка, но указывает на его этнические корни и на то, что в роду было имя-пожелание, связанное с движением вперёд. Встречаются также варианты написания Алгашов (с буквой «о» под ударением) — это чисто орфографическое колебание, не меняющее смысла.