Фамилия Алгашов образована от прозвища или нецерковного имени Алгаш. В её основе, скорее всего, лежит тюркский корень «алга» — «вперёд», «перёд» (глагол «алгаш» в ряде тюркских языков означает «двигаться вперёд», «опережать»). Так могли прозвать расторопного, инициативного человека, который не сидит на месте, или же первенца в семье. Менее вероятна, но возможна связь с диалектным русским глаголом «алгашить» — «громко кричать, шуметь»; в этом случае прозвище дали бы крикливому, неспокойному человеку.

Модель образования типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе Алгаш, указав на принадлежность — «сын Алгаша» или «из рода Алгаша». Фамилия фиксируется преимущественно в Поволжье, особенно в Чувашии и Татарстане, что подтверждает её тюркское происхождение: среди чувашей и татар имя Алгаш (иногда как вариант имени Алгас) встречалось в XVI–XVII веках. В русских переписных книгах Казанского края той поры нередки записи крещёных татар и чувашей с подобными именованиями.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, образованных от христианских имён (Иванов, Петров), Алгашов стоит в ряду фамилий, сохранивших дохристианские или иноязычные основы. Сравните с Алгасов, Алгазин — все они восходят к одному корню, но различаются суффиксами, что указывает на разные диалектные или региональные варианты оформления одного прозвища. Социальный состав носителей в прошлом — в основном государственные крестьяне, реже служилые люди «по прибору» (стрельцы, казаки), которые несли службу на юго-восточных рубежах России.

Исходное ударение в фамилии сохраняется на втором слоге — Алга́шов, хотя в бытовой речи иногда смещается на первый под влиянием фамилий с ударным началом.