Фамилия Алхамри — редкий случай в русском антропонимиконе, и её происхождение почти наверняка не связано со славянским миром. Первое, что бросается в глаза: в ней нет типичных русских суффиксов (-ов, -ин, -ский), а окончание -и нехарактерно для исконно русских фамилий (оно встречается, например, у фамилий польского происхождения на -ский/-цкий, но там иная основа). Поэтому корни Алхамри лежат за пределами восточнославянской традиции.

Наиболее правдоподобная версия — арабское происхождение. Основа «Ал-Хамри» (или «аль-Хамри») может восходить к арабскому слову «хамр» (خمر) — «вино», либо к корню «х-м-р», связанному с красным цветом (например, «ахмар» — красный). В таком случае фамилия могла означать «винодел», «торговец вином» или «красный» (по цвету волос, кожи или одежды). Приставка «ал-» — определённый артикль, указывающий на принадлежность к роду или местности, то есть «из рода Хамри» или «из места Хамр». В арабской ономастике такие фамилии нередко указывают на предка-ремесленника или на географическое прозвище.

Однако есть и другая, менее очевидная версия — связь с адыгскими (черкесскими) фамилиями. В адыгском языке встречаются основы, похожие на «Хамри», а суффикс -и характерен для некоторых адыгских фамилий (например, Тхагуши, Хатши). Если фамилия пришла с Кавказа, её могли русифицировать, добавив окончание -и, а корень мог означать «сын такого-то» или указывать на родовое имя. Но эта гипотеза слабее: адыгские фамилии чаще оканчиваются на -ко, -уа, -ба, и звучание «Алхамри» для них нетипично.

Поскольку фамилия не имеет славянского суффикса, её носители в России — это, скорее всего, потомки выходцев из арабского мира (например, из Сирии, Ливана, Палестины) или, реже, с Северного Кавказа, где арабское влияние сильно через ислам. В архивах дореволюционной России такая фамилия практически не встречается, что подтверждает её позднее появление в русскоязычной среде — вероятно, в XX веке. Сословная принадлежность предков неясна: арабские фамилии могли носить как купцы и ремесленники, так и религиозные деятели.

Коротко: Алхамри — фамилия арабского корня, означающая либо «винодел», либо «красный», и попавшая в Россию скорее всего с миграцией с Ближнего Востока.