Фамилия Алцибеев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней отчётливо слышится что-то нерусское, и это ощущение не обманывает: основа у фамилии тюркская, а вот русский суффикс -ев указывает на то, что имя «обрусело» и адаптировалось в русской среде.

Словообразовательная модель здесь типична для фамилий, возникших на стыке культур: к тюркскому личному имени Алцибей (или Алчибей) добавили патронимический суффикс -ев, который в русском языке отвечает на вопрос «чей?» — то есть «Алцибеев сын». Значит, предка носителя фамилии, вероятно, звали Алцибеем. Это мог быть выходец из татарской, башкирской или другой тюркоязычной среды, перешедший на русскую службу или принявший православие — в XVI–XVII веках такие случаи были обычным делом среди служилых людей и казачества.

Разбираем само имя по частям. «Ал» в тюркских языках может означать «алый», «красный» или быть частью сложных имён со значением «брать», «владеть». «Ци» — это, скорее всего, искажённое «чи», распространённый тюркский аффикс принадлежности или профессии (как в словах «джигит», «казак»). «Бей» — титул «господин», «князь». В сумме имя могло означать что-то вроде «алый господин» или «владеющий князь», но точное значение за веками затемнилось.

Интересная деталь: написание «Алцибеев» с буквой «ц» вместо ожидаемого «ч» (сравните с фамилией Алчиев или Алчеев) — это не ошибка, а следствие диалектного произношения или записи со слуха. В некоторых русских говорах «ч» могли заменять на «ц» (цоканье), и писарь зафиксировал имя так, как услышал. Поэтому фамилия может быть родственна более понятным Алчиевым или Алчеевым, но закрепилась в уникальной фонетической форме.

Географически фамилия встречается точечно, преимущественно в Поволжье и на Урале — регионах, где веками происходило смешение славянского и тюркского населения. Сословно предки Алцибеевых чаще всего были крестьянами или однодворцами, хотя не исключено и происхождение из служилых татар. Точных данных о дворянском роде с такой фамилией нет.