Фамилия Амарбей — редкий случай в русском ономастиконе. Она явно не славянского происхождения, и её основа — тюркское или арабское имя. Разберём её по частям.

Первая часть, «Амар», скорее всего, восходит к арабскому корню «амр» — «жизнь» или «приказ, повеление». В тюркских языках это имя часто встречается в форме Амар, Амир (в значении «повелитель», «князь»). Вторая часть — «бей» — хорошо известный тюркский титул, означающий «господин», «вождь», «князь». В составе составных имён (например, Ахметбей, Мамедбей) он указывал на знатность или уважение. Таким образом, имя Амарбей, от которого образована фамилия, можно перевести как «повелитель жизни» или «князь, дающий приказы». Это составное имя было распространено у народов Кавказа (особенно у азербайджанцев, кумыков, балкарцев) и у крымских татар. Носителями такого имени могли быть представители местной знати, военачальники или просто уважаемые люди.

Но главная особенность фамилии — не столько её смысл, сколько способ образования. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, которые строятся с помощью суффиксов -ов, -ев или -ин, фамилия Амарбей застыла в форме полного личного имени. Это типично для фамилий, возникших в среде мусульманских народов Российской империи: их фиксировали в документах прямым переносом имени отца или родового прозвища, без добавления славянских суффиксов. В русских метриках и переписях XIX — начала XX века такую фамилию могли записать иначе — как Амарбеков или Амарбеев, в зависимости от региона и грамотности писаря. Вариант без суффикса — самый редкий и указывает на прямую связь с исходным именем, без посредников в виде «сын такого-то». Именно эта модель выдает в фамилии Амарбей не переделку на русский лад, а реликт исходной тюрко-исламской традиции именования знати. Географически фамилия сегодня встречается в основном на Северном Кавказе, в Закавказье, а также среди потомков эмигрантов первой волны. В России она крайне редка, что делает её носителей обладателями уникального родового имени.