Фамилия Амаюкова — редкий случай, когда географический и этнический след просматривается почти сразу, а вот с семантикой основы приходится разбираться. На первый взгляд, перед нами типичная русская фамилия на -ов/-ев, образованная от прозвища или имени. Однако суффикс -юк- в основе выдает южнорусское или украинское происхождение: -юк (как и -ук, -чук) — патронимический суффикс, указывающий на «малого», потомка или ученика. В русском языке такие фамилии чаще встречаются у выходцев с территории бывшего Черниговского, Киевского или Полтавского регионов, а также у казаков.

Основа «Амай» (или «Амайко») не имеет общепринятого славянского толкования. Вероятнее всего, это тюркское или арабское имя, адаптированное в славянской среде. В тюркских языках «Амай» может означать «месяц» (луна) или быть уменьшительной формой от имени Аманулла (в значении «верный», «находящийся под защитой»). На Кавказе и в Поволжье встречаются фамилии Амаев, Аманов, Амаюков — все они восходят к одному корню. Если предок был крещёным татарином, башкиром или ногайцем, его имя Амай легко превратилось в русскую фамилию через суффикс -юк (сначала Амаюк — «сын Амая»), а затем добавилось окончание -ов по русской модели.

Встречается фамилия и у кабардинцев, и у балкарцев — там она могла образоваться от местного имени Амай, означающего «сильный» или «богатырь». В таком случае суффикс -юк — уже не украинский, а кавказский, указывающий на принадлежность к роду или местности. То есть Амаюковы могли быть и горцами, переселившимися в русские губернии и получившими фамилию по отцу.

По сословной принадлежности фамилия не даёт однозначного ответа. Среди носителей встречаются и крестьяне, и казаки, и мещане. В дореволюционных записях Амаюковы фиксировались в Ставропольской губернии, на Кубани и в Астраханской области — то есть в зонах активного смешения славянского и тюрко-кавказского населения. Могли быть как вольными хлебопашцами, так и бывшими однодворцами.

Итог: фамилия Амаюкова — скорее всего, русская по форме, но с нерусской основой. Предки могли быть выходцами с юга России, из казачьих областей или с Северного Кавказа, а их имя Амай — тюркским или кавказским. Суффикс -юк указывает на «сына» или «потомка», так что буквально фамилия значит «принадлежащий к роду Амая».